李群李代数学习笔记（一）：从群到群

1. 李群 ： 流形 + 群。左平移。左不变矢量场。

2. 李代数 ：矢量空间

3. 单参子群 ：曲线若满足则称为的单参数子群

重要关系：

4. 常用李群李代数 ：

符号	李群名称	连通性	矩阵	维数	其李代数的矩阵
	一般线性群(实)	不连通	可逆实矩阵		任意实矩阵
	一般线性群(复)	连通	可逆复矩阵		任意复矩阵
	特殊线性群(实)	连通	行列式为 1 的可逆实矩阵		无迹实矩阵
	特殊线性群(复)	连通	行列式为 1 的可逆复矩阵		无迹复矩阵
	正交群	不连通	正交实矩阵		反对称实矩阵
	转动群 (特殊正交群)	连通	行列式为 1 的正交实矩阵		反对称实矩阵
	洛伦兹群	不连通	实矩阵, 满足.		实矩阵, 满足.
	固有洛伦兹群	连通	实矩阵, 满足,.		实矩阵, 满足.
	酉群	连通	酉矩阵		反厄米矩阵
	特殊酉群	连通	行列式为 1 的酉矩阵		反厄米, 无迹复矩阵

5. 李代数的结构常量:

6. 李变换群与killing 场: 定义李变换群 ：设G为李群，M为流形，称为M上的一个李变换群，若：
   (a). 对于任意g微分同胚
   (b). 为同态映射

7. 定义从李群到变换群的上述同态映射为的一个实现, M 称为实现空间。若此同态为同构, 则称忠实实现。

8. 定义李群在上的一个实现称为的一个表示, 若为矢量空间, 且为线性变换。这时称为表示空间。若忠实实现是表示, 则为忠实表示。

9. 定理 :的等度规群的李代数同构于其上全体 killing 矢量场的李代数; 当每一Killing 场都完备时

重要关系：